질문 요약
83페이지 연습문제 1번에서 yf를 A로 두고 미분하여 yf' = 0가 되는것까지 알았는데, yf와 yf' 값을 y'+y=5 식에 대입할 수 있는 이유와 이 식에 yn을 대입할 수 있는지 궁금합니다.
답변 요약
미분방정식의 완전응답은 고유응답(yn)과 강제응답(yf)의 합으로 이루어져 있습니다. 특정 형태의 1차 미분방정식 y'+ay=f(t)에서 yn과 yf를 이용하여 y=yn+yf로 나타낸다면, 이 방정식은 (yn'+ayn)+(yf'+ayf)=f(t)로 표현됩니다. 여기서 고유응답 yn은 f(t)와 무관하게 항상 yn'+ayn=0을 만족하므로, 강제응답 부분의 해를 구할 때는 yf'+ayf=f(t)를 만족하는 yf만을 찾으면 됩니다.
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회로이론에서 강제응답과 고유응답 이해하기
회로이론을 공부하다 보면 미분방정식의 개념을 접하게 됩니다. 특히 강제응답(yf)과 고유응답(yn)은 회로 해석에 있어 핵심적인 개념입니다. 이번 글에서는 연습문제를 통해 강제응답을 구하는 과정에서 생기는 의문, 즉 yf와 yf'를 특정 미분방정식에 대입할 수 있는 근거와 고유응답 yn의 대입 여부에 대해 명확히 해볼 것입니다.
우선, 미분방정식을 해석할 때 완전응답을 얻기 위해 고유응답과 강제응답을 합하여 생각합니다. 완전응답은 주어진 시스템이나 회로의 모든 동작을 포함하며, 동특성을 나타내는 것이죠. 이를 수식으로 나타내면 y(t) = yn(t) + yf(t)로 표현할 수 있습니다. 여기서 y(t)는 시스템의 전체 응답, yn(t)는 고유응답, yf(t)는 강제응답을 의미합니다.
고유응답은 시스템이 외부의 힘, 즉 강제력이 없을 때 자유롭게 진동하며 나타나는 응답입니다. 강제응답은 외부에서 가해지는 힘에 의해 발생하는 응답을 말합니다. 각각의 응답은 다음과 같은 특징을 가지고 있습니다:
- 고유응답 yn: 시스템이나 회로의 고유 특성에 의해 정해지고, 외부 힘에 의존하지 않습니다.
- 강제응답 yf: 외부에서 가해지는 강제력의 영향을 받아 결정됩니다.
83페이지 연습문제 1번과 같은 경우를 예로 들면, 강제응답 yf를 A로 두었을 때, 이를 미분하면 yf' = 0이 됩니다. 이는 강제응답이 상수항으로만 이루어진 경우에 해당하는데, 이때 yf와 yf' 값을 y' + y = 5라는 미분방정식에 대입할 수 있는 이유는 다음과 같습니다:
미분방정식 y' + ay = f(t)의 해를 찾을 때, 완전응답 y = yn + yf를 대입하면 식은 다음과 같이 전개됩니다:
- 처음에는 yn과 yf를 각각 미분합니다: yn' + yf'.
- 고유응답과 강제응답에 각각 a를 곱합니다: ayn + ayf.
- 완전응답의 미분과 a를 곱한 값의 합은 f(t)와 같아야 합니다: (yn' + ayn) + (yf' + ayf) = f(t).
여기서 중요한 점은 고유응답 yn은 방정식 yn' + ayn = 0을 만족한다는 것입니다. 즉, 고유응답 부분은 f(t)와 무관하게 이미 0이 되므로, 강제응답 yf를 구할 때는 yf' + ayf = f(t)만을 만족하는 yf만을 찾으면 됩니다. 따라서 우리는 yf와 yf' 값을 원래 미분방정식에 대입할 수 있는 것입니다.
그렇다면 고유응답 yn을 미분방정식에 대입할 수 있는지 여부에 대해서는, 고유응답이 미분방정식의 해가 되기는 하지만, 완전응답을 구하기 위해서는 강제응답을 함께 고려해야 한다는 점을 기억해야 합니다. 결론적으로, 강제응답과 고유응답 모두 미분방정식의 해가 되지만, 각각의 응답은 서로 다른 방정식을 만족합니다.
회로이론에서 미분방정식을 다루는 것은 복잡해 보일 수 있지만, 고유응답과 강제응답의 개념을 정확히 이해한다면 전체 시스템의 동작을 효과적으로 분석할 수 있게 됩니다. 이러한 이해는 회로 설계와 분석에서 매우 중요한 역할을 합니다.
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