질문 요약
47강 17분대에서 표본의 공분산을 구하는 과정에서 n-1로 나누지 않는 이유는 무엇인가요? 표본공분산 구하는 공식에는 왜 n-1로 나누는 것인지 헷갈립니다.
답변 요약
표본상관계수를 구할 때에는 n-1이 분모에 포함되지 않는다고 합니다. 자세한 공식은 제공된 블로그 링크와 이미지를 통해 확인할 수 있습니다. 블로그 : https://blog.naver.com/PostView.naver?isHttpsRedirect=true&blogId=mykepzzang&logNo=220929023044, 이미지 : https://file.unistudy.co.kr/Data/SEDATA/eject801__20211223153454.jpg
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[통계학] 공분산 계산 시 n-1로 나누지 않는 이유?
통계학을 공부하다 보면 다양한 개념과 계산 방법에 대해 배우게 됩니다. 그 중 공분산(Covariance)의 계산은 자료 간의 관계를 이해하는 데 중요한 도구입니다. 이때 공분산을 계산할 때 n-1로 나누지 않고 n으로 나누는 경우가 있는데, 이에 대한 궁금증을 해소하기 위해 이 글을 작성하였습니다.
먼저, 공분산이란 두 변수 X와 Y의 관계를 나타내는 통계량으로, 두 변수가 함께 변하는 정도를 숫자로 나타낸 것입니다. 공분산이 양수이면 두 변수가 같은 방향으로 움직이고, 음수이면 반대 방향으로 움직인다는 것을 의미합니다. 그러나 공분산만으로는 두 변수의 관계의 강도를 파악하기 어렵기 때문에 표준화된 개념인 상관계수(Correlation Coefficient)를 사용하기도 합니다.
일반적으로 우리가 표본의 분산 또는 표준편차를 구할 때에는 n-1로 나누어 주어야 합니다. 이를 '불편추정량(unbiased estimator)'이라고 하며, 표본분산이 모분산을 더 잘 추정할 수 있도록 하는 교정계수입니다. 그렇다면 왜 공분산 계산에서는 n으로 나누는 경우가 있을까요?
이는 공분산을 계산할 때의 목적과 상황에 따라 달라집니다. 실제로 표본공분산(sample covariance)을 계산할 때는 n-1로 나누는 것이 일반적입니다. 그러나 특정 상황에서는 n으로 나누어 주기도 합니다. 예를 들어, 표본상관계수(sample correlation coefficient)를 계산할 때는 n-1이 아닌 n으로 나누어 주는 경우가 있습니다.
표본상관계수는 두 표본 변수의 공분산을 각각의 표준편차로 나누어 표준화한 값입니다. 이 값은 표본의 크기가 클수록 모집단의 상관계수에 접근하기 때문에 n-1보다는 n으로 나누는 것이 적절할 수 있습니다. 하지만 이렇게 n으로 나누면 표본상관계수의 값이 불편추정량이 아니게 되어 모집단의 상관계수를 과소평가할 가능성이 있습니다.
따라서 통계학에서는 상황에 따라 n-1로 나눌지, n으로 나눌지를 결정하며, 이는 통계모형의 특성과 추정의 목적에 따라 달라지는 것입니다. 실제로 데이터 분석을 할 때에는 통계 소프트웨어가 자동으로 적절한 계산을 해주기도 합니다.
아래 제공된 블로그 링크와 이미지를 통해 표본공분산과 표본상관계수에 대한 자세한 공식과 설명을 확인하실 수 있습니다.
표본공분산과 표본상관계수에 대한 자세한 설명이 담긴 블로그 보기
요약하자면, 공분산 계산에서 n-1로 나누지 않는 이유는 통계학에서 사용하는 다양한 공식과 추정 방법에 따라 달라질 수 있으며, 주어진 데이터와 분석의 목적에 가장 적합한 방법을 선택하는 것이 중요합니다.
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