질문 요약
예제 7-5에서 왜 용수철이 한 일이 -kd^2가 아닌 -½kd^2인지 이해가 되지 않습니다. (serway 교재 144p)
답변 요약
자연길이에서 늘어난 길이에 비례하는 탄성력은 작용점이 옮겨짐에 따라 힘이 달라지기 때문에, 이를 고려하지 않은 계산은 오류가 있습니다.
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[일반물리학] Ch7 에너지 파트 예제 7-5에 대한 이해
물리학 공부를 하다보면, 때때로 우리는 예제나 풀이 과정에서 이해가 어려운 부분을 만나곤 합니다. 오늘은 그런 부분 중 하나인 '용수철이 한 일'에 대해 알아보도록 하겠습니다. Serway 교재 144p에 나오는 예제 7-5에서 용수철이 한 일이 왜 '-kd^2'가 아니라 '-½kd^2'인지 궁금해하시는 분들이 많은데, 이에 대한 해답을 찾아보도록 하겠습니다.
용수철의 힘과 일
용수철에 힘을 가하면 용수철은 길이가 늘어나고, 이 때 발생하는 용수철의 힘은 훅의 법칙에 따라 용수철이 늘어난 길이에 비례합니다. 이 힘은 F=-kx로 표현되는데, 여기서 k는 용수철 상수, x는 용수철이 늘어난 길이를 의미합니다.
그렇다면 용수철이 한 일은 어떻게 계산할까요? 일반적으로 힘과 힘의 작용 거리를 곱하여 계산하지만, 용수철의 경우에는 조금 다릅니다. 왜냐하면 용수철에 힘을 가할수록 힘이 커지기 때문입니다. 따라서, 일의 계산에서 힘이 일정하지 않은 경우에는 힘의 적분, 즉 힘과 거리의 곱의 총합을 계산해야 합니다.
용수철이 한 일의 계산
그럼 용수철이 한 일을 '-kd^2'가 아니라 '-½kd^2'로 계산하는 이유는 무엇일까요? 이는 용수철에 작용하는 힘이 일정하지 않기 때문입니다. 용수철이 늘어날수록 힘이 커지고, 따라서 용수철이 한 일은 힘과 거리의 곱의 총합, 즉 힘의 적분을 계산해야 합니다.
F=-kx의 힘을 거리 x로 적분하면, -½kx^2가 됩니다. 즉, 용수철이 한 일은 -½kx^2, 여기서 x는 용수철이 늘어난 최종 거리입니다. 따라서 용수철이 한 일은 -½kd^2가 됩니다.
결론
요약하면, 용수철이 한 일이 '-kd^2'가 아니라 '-½kd^2'인 이유는 용수철에 작용하는 힘이 일정하지 않아 힘의 적분을 해야 하기 때문입니다. 이해가 조금 어려울 수 있지만, 물리학에서는 힘의 크기가 변하는 상황에서는 힘의 적분을 통해 일을 계산해야 하는 것을 기억하시면 좋을 것 같습니다.
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