질문 요약
풀이과정 중 ∫EdA= E ∫dA= E(4πr^2) 가 나오는데 4πr^2 가 왜 나오는지 궁금합니다. dA를 적분하면 A가 나오는데, A는 구의 부피를 미분한 것이어서 3/4πr^3을 미분한 꼴이 되어서 그런 것일까요? 감사합니다.
답변 요약
가우스 법칙을 이용해서 전기선속을 계산하기 위해서는 구대칭형 가우스 법칙을 사용하며, 전기장과 전기장 방향의 면적을 고려해야 합니다. 이 경우에는 전하에 의한 전기장이 구형으로 분포되고 지름방향 성분만 존재하므로, 투과량을 계산하기에 가장 적합한 면적은 구의 표면적인 4πr^2입니다.
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일반물리학 2 예제 23.5에서 4πr^2가 왜 나오는지 이해하기
물리학 공부를 하다 보면 가우스 법칙을 이용한 문제를 자주 마주치게 됩니다. 이런 문제 중 일반물리학 2 예제 23.5에서 ∫EdA= E ∫dA= E(4πr^2)와 같은 식이 나오는데, 이 때 4πr^2가 왜 나오는지 이해가 잘 안 되시는 분들도 계실 것입니다. 오늘은 이 부분에 대해 알아보도록 하겠습니다.
구의 표면적과 가우스 법칙
먼저 가우스 법칙을 이용해서 전기선속을 계산하기 위해서는 구대칭형 가우스 법칙을 사용해야 합니다. 이때 전기장과 전기장 방향의 면적을 고려해야 합니다. 전하에 의한 전기장이 구형으로 분포하고 지름방향 성분만 존재하는 경우, 투과량을 계산하기에 가장 적합한 면적은 바로 '구의 표면적'인 4πr^2가 됩니다.
정리하면
따라서, ∫dA를 적분하면 A가 나오는 것은 맞지만, 이 문제에서는 구의 부피를 미분한 것이 아니라 구의 표면적을 이용한 것입니다. 전기장이 모든 방향으로 균일하게 뻗어나가는 구형 분포를 가지고 있을 때, 가우스 법칙을 이용하여 전기선속을 계산할 때는 구의 표면적인 4πr^2를 사용하게 됩니다. 이렇게 4πr^2가 나오는 이유를 이해하신다면, 향후 물리학 문제를 풀 때도 큰 도움이 되실 것입니다.
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