질문 요약
유체역학 강의를 들으면서 제가 가지고있는 cengel 열역학 책에 나와있는 빨간 동그라미 식을 유도하려고 하는데, 미분형태가 아닌 kp/(밀도)로만 정리되어 있어서 궁금합니다. 교수님의 블로그에서 위 사진을 발견하였고, 교수님 필기노트에는 등온변화 가정에서 라운드가호가 빠진 식으로만 정리되어있다고 합니다. 해당 식이 어떻게 유도된 것인지 알고 싶습니다. 질문 이미지 : https://file.unistudy.co.kr/Data/SEDATA/iedea300__20210913170556.jpg
답변 요약
음속이 단열일 때와 등온일 때의 차이점에 대한 질문이 있는데, 이를 이해하는 데에 도움이 될 수 있는 내용은 이상기체 상태방정식과 단열공식(pv^k=const)입니다. 해당 내용을 자세히 설명한 링크가 제공되었으니, 이를 참고하시면 됩니다. 링크 : https://bit.ly/48WerfM. 이외에 음속이 왜 단열일 때와 등온일 때 다른지 설명하는 데에 bulk modulus를 활용할 수도 있습니다.
Unsplash 추천 이미지 (키워드 : Fluid dynamics, Cengel, Thermodynamics, Differential form, Density, Isothermal change, Derived equation, Speed of sound, Ideal gas state equation, Adiabatic formula. )
음속 공식의 유도 과정에 대한 설명
음속에 대한 공식은 유체역학과 열역학의 기본 원리를 활용하여 유도됩니다. 음속이란 파동이 어떤 매질을 통과하는 속도를 의미하며, 주로 공기 중의 소리 속도로 많이 알려져 있습니다. 이 음속은 매질의 특성과 온도에 따라 달라집니다. 여기서는 이상기체 상태방정식과 단열과정을 이용하여 음속을 유도하는 과정에 대해 설명하겠습니다.
이상기체 상태방정식은 다음과 같은 형태로 표현됩니다:
- PV = nRT
여기서 P는 압력, V는 부피, n은 기체의 몰 수, R은 기체 상수, T는 절대 온도입니다.
단열과정에서는 이상기체의 특성을 나타내는 단열 지수 \( k \)를 사용하는데, 단열과정에서는 다음과 같은 관계가 성립합니다:
- PVk = 일정
이는 엔트로피가 일정한 상태에서의 기체의 상태 변화를 나타냅니다.
음속을 유도하기 위해서는 기체의 압축성을 고려해야 합니다. 이를 위해 Bulk modulus (비압축성 계수) \( B \)를 사용하는데, 이는 압력의 변화에 대한 부피의 변화율을 나타냅니다.
- B = -V(\( \frac{\partial P}{\partial V} \))
음속 \( c \)는 다음과 같이 Bulk modulus \( B \)와 밀도 \( \rho \)를 사용해 나타낼 수 있습니다.
- c = \( \sqrt{\frac{B}{\rho}} \)
단열과정에서의 음속은 다음과 같이 유도할 수 있습니다:
- 단열과정에서 \( PV^k \)가 일정하므로, \( P = C \cdot V^{-k} \) (여기서 \( C \)는 상수) 라고 할 수 있습니다.
- \( \frac{\partial P}{\partial V} = -k \cdot C \cdot V^{-(k+1)} \) 이므로, Bulk modulus \( B \)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다. \( B = V \cdot k \cdot C \cdot V^{-(k+1)} = k \cdot P \)
- 이상기체 상태방정식을 사용하여 압력 \( P \)를 밀도 \( \rho \)와 온도 \( T \)로 나타내면, \( P = \rho \cdot R \cdot T \)
- 따라서, \( B = k \cdot \rho \cdot R \cdot T \)가 됩니다.
- 이를 음속 공식에 대입하면 \( c = \sqrt{\frac{k \cdot \rho \cdot R \cdot T}{\rho}} = \sqrt{k \cdot R \cdot T} \)로 음속을 구할 수 있습니다.
이렇게 유도된 음속 공식은 단열과정에서만 유효하며, 등온과정에서는 다른 형태의 음속 공식이 사용됩니다. 단열과정에서의 음속은 등온과정에서의 음속보다 일반적으로 더 높습니다. 이는 온도가 상승함에 따라 기체 분자의 운동이 빨라지고, 음파가 전달되는 속도가 증가하기 때문입니다.
더 자세한 내용과 유도 과정을 이해하고 싶으시다면, 아래 링크를 통해 관련 자료를 확인하실 수 있습니다.
이상기체 상태방정식과 단열공식에 대한 자세한 설명위의 링크를 통해서 단열과정에서 음속이 왜 등온과정에서의 음속과 다른지, 그리고 식이 어떻게 유도되는지에 대한 추가적인 정보를 얻을 수 있습니다. 음속의 유도 과정이나 유체역학의 다른 주제에 대해 더 궁금한 점이 있다면 언제든지 질문해 주시기 바랍니다.
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